リーマン仮説（リーマン予想）の証明　　ver1

証明できました。・・・と言っても信じてくれない人が多いでしょうから、まずは概略を説明し、ある程度納得してもらった上で、リーマン仮説の証明に入りたいと思います。




第１部　　　　　　証明の概略


■　　　　リーマンの零点はk(x）で計算できる

まずは、最初の大前提から説明します。おそらくk(x)と言っても何のことか判らないでしょうから、再度k(x)から説明することにします。

k(x)とはゼータ関数のxが実数の時、x>1で収束する値のことです。　（第５の広場参照のこと）

k(2)=1.644934067、k(4)=1.082323234 などで、k(2)=pi^2/6, k(4)=pi^4/90, k(6)=pi^6/945, k(8)=pi^8/9450, となることが判っています。
これを、k(2)=su(2)*2*pi^2, k(4)=-su(4)*2^3*pi^4,　もしくは、k(2)=B(2)*pi^2*2/2!, k(4)=-B(4)*pi^4*2^3/4!, のように、su(r), B(r) を使っても表記できます。ベルヌーイ数はあちこちに顔を出します。
これをもっと一般化して数式化すると以下のようになります。
Σ1/n^r = k(r)-1/(r-1)/n^(r-1) + 1/2/n^r - r/12/n^(r+1) + 0 + r*(r+1)*(r+2)/6!/n^(r+3) + 0 + .....

この公式を使うと、k(x)を速やかに計算できます。k(3), k(5) などは奇数ゼータと呼ばれています。この式を使うと、x<1でも、x<0でも計算できます。たとえば、k(0.5)は-1.4603545088... となっています。

さて、このxは実数であることを前提に、いままでやってきましたが、これを拡張して複素数として計算すると、リーマンの零点を得ることが出来ます。リーマン自身の使った数式を知りませんし、その後のリーマン仮説の研究者の研究成果も知りませんので、 はたしてこの式が彼らの式と同じかどうか判らないのですが、計算上同じ結果になるのですから、 これで良しとしていただかないことには話しになりません。 以下の証明ではこのことは大前提となっています。


■　　　複素数における零点の法則

さて、複素数a+biが零であるとは、a=0 かつ b=0　ということです。そして、複素数zが零の時、任意の複素数x に対して、x*z=0 となり、x/z は計算不能となるのは実数の時と同じです。交換法則や結合法則も成り立ちます。 そして、x*y=0 の時、　x=0　もしくはy=0　であることも実数と同じです。x≠0　かつ y≠0 のとき、x*y≠0 であることも実数と同じです。


■　　　　　　複素空間で複素数の動きを調べる

実数関数ではXY座標を使って関数の形を調べます。私もXY座標の威力にほとほと感心した人間のひとりで、 これを発案したデカルトを深く尊敬しています。XY座標は、数学の本質を変えるものではありませんが、 これにより数学を判りやすくすると言うことにおいて絶大な貢献をはたしました。数学史の本を開けてみると、 このXY座標の発案についての記述があまりないのですが、これについては是非触れて欲しいと思います。

さて、XY座標と同じアイデアを複素数にも導入したいのですが、複素関数では、x、y のそれぞれにa, b という二つの要素があり、 合計４つの要素を考えなければなりません。しかし、平面で使えるのは２つ、空間として捉えても３つの要素しか扱えません。 何かよい方法はないだろうかと模索しているのですが、なかなかこれと言ったものが見つかりません。 やむを得ず、ここでは複素空間というアイデアを使うことにします。

複素空間は、XYZ座標と同じことですが、ただ、ふたつのXYZ座標を重ねて理解するという特徴があります。 つまり、複素関数のxには(a1, b1)という要素があるので、a1をX軸、b1をY軸として、平面全体をa1+b1*i と対応させます。 xが定まると、それに対応している平面上の点が定まることになります。 さて、yにもふたつの要素があるので、(a2, b2) と表現します。このa2とb2をZで対応させます。 つまり、yの実部であるa2を意味するZ座標と、虚部のb2を意味するZ座標のふたつを想定するのです。 これで、複素数x, y がXYZ座標と対応関係を持つことができるようになります。

ひとつの数にふたつの空間を想定するのはやや不便ですが、いまのところ仕方ありません。これを使って複素関数の姿をなんとか捉えてみたいと思います。


■　　　　　　複素空間における振動、発散、収束、極限値

XY座標で使った概念の大半は複素空間でも使えます。ただ、違いがないわけでもないので、注意が必要です。 XY座標では、点の動きが線となり、その線が振動したり、発散したりするのですが、複素空間では、平面が振動したり、発散したり、収束したりします。 XY座標では極限値という考え方をしましたが、複素空間でも同じような現象が起きます。 つまり、ある形の線分がXの増加と共に姿を変化させてゆきますが、Xの極大化したところでひとつの形に収束することがあります。 その形のことを何と呼べばよいのか・・・。一応「極限値」、もしくは「極限形」という言い方をすることにします。



■　　　　　　リーマン零点とは


さて、k(x)を複素数に拡大して、x=a+bi 、k(x)=z1+z2*i と理解します。k(x)が零となるのが零点ですから、 z1=0 かつ z2=0 ということです。これを視覚的に理解するために、まずはXYz1座標においてz1=0となるようなa, b を探してみます。そのようなa, b をXY座標で表し、複素平面図を描いてみます。また、XYz2座標でも同じようにz2=0となるような図を色を変えて描いてみます。 そのふたつを重ねたとき、その交点がz1=0, z2=0 となっているので、そこが零点 であることが判ります。右図は、まだ未完成なので、一部の線が描かれていませんが、一応、描かれた範囲内では、 実部と虚部の交点がa=0.5の線上にあることが判ります。 零点は、b=0 つまり実数の線上にもあります。「それ以外に零点となるところがない」ということがリーマン仮説の内容ですから、 それを証明することがここでの目標になります。



■　　　　　　極限値の計算

それから、私の証明では極限値計算を使うときがあります。極限値を計算して、それで証明するとは、やや証明としては問題だと思う人もいるような気がしますが、それは証明の定義の問題になるので、私には何とも言えません。ご理解いただきたいのは、リーマン仮説そのものの中に計算による証明が含まれていると言うことです。「リーマン仮説とは、a=0.5, b=0 上の点以外に零点が存在しない」というものですが、「a=0.5上に零点がある」ということが前提にされています。しかし、このことはどのようにして証明されているのでしょうか。最初の零点はb=14.1347251417ですが、実部の零点と虚部の零点が計算上一致すると言うだけのことであって、それ以上のことではありません。また、a=0.5というのも、計算上そうなるということです。ですから、私の証明に於いて、極限値計算を適宜証明の手段として採用しているのも決して不当なことではありません。

もちろん、零点を順次計算して、計算した範囲内ですべて零点がa=0.5上にあることを示すことが証明だと言っているわけではありません。もし零点の出現に法則性があるなら、それで証明は可能となりますが、実際の零点はランダムに出現しています。ですから、いくら多くの零点を計算しても、すべての零点を検証したことにはなりません。以下の証明は、まさにその点をクリアすることが出来る証明であるという点は強調しておきたいと思います。



■　　　k(x)=f(x)*g(x)　となるf(x), g(x) を見つける

さて、リーマン仮説を証明する方法としては、k(x)=f(x)*g(x)　となるような f(x), g(x) を見つけるというやり方でゆきたいと思います。

実数の場合、z≠0を証明するためには、z=x*y の式に於いて、x≠0 かつ y≠0 を証明すればよいわけです。同じように、関数に於いても、もし、k(x) = f(x) * g(x) となるようなf(x), g(x)があり、f(x)がa=0.5, b=0 上にしか零点がなく、g(x)もa=0.5, b=0 上にしか零点がないことが証明できるなら、k(x)もa=0.5, b=0 上にしか零点がないことになります。

ただし、はたして証明可能なf(x), g(x) が存在するでしょうか。また、あったとしてもそれをどのようにして見つけだしたらよいのでしょうか。それが大きな課題となります。



■　　　ゼータ関数とk(x)を結びつける

そういう方針のもとに、　k(x) = f(x) * g(x)　となるf(x), g(x) を探すことにしました。 はたして証明可能なf(x), g(x)は見つかるだろうかと心配だったのですが、とにかく手当たり次第いろいろな可能性を探ってみました。 その中で、zeta(x)と関連させてみるのが一番有望ではないかとの感触を得ました。

k(x)/zeta(x) なる関数を調べてみようと思い立ち、zeta(x)の零点複素平面図を描こうとしたのですが、 zeta(x)は振動して図を描くことが出来ません。それにどうも a=0.5上に零点がくるのでなく、a=0上に零点が集まっているように見えました。そこで、zeta(x-0.5)として、無理矢理a=0.5上に零点ができるよう変更してみました。 その上で、hk(x) = k(x) / zeta(x-0.5) となるようなhk(x)を定義し、このhk(x)を計算したところ、けっこう綺麗な数式を得ることができました。それに気を良くして、さらに分析したところ、非常にうまい具合に証明可能な論理の筋道を見つけることが出来ました。

つまり、k(x) = zeta(x-0.5) * hk(x) なのですから、zeta(x-0.5) と hk(x) がともにa=0.5 上にしか零点、および特異点を持たないことを証明すればよいわけです。そこで、zeta(x-0.5)については、zeta(x) = 2^x/(2^x-1) * 3^x/(3^x-1) * 5^x/(5^x-1) * ..... を使うことにしました。2^(x-0.5)/(2^(x-0.5)-1) 、 3^(x-0.5)/(3^(x-0.5)-1) 、 5^(x-0.5)/(5^(x-0.5)-1)　のそれぞれを独立に分析し、それぞれで a=0.5, b=0 上にしか零点がないことを証明すればよいのです。これは証明できました。

また、hk(x)については、hk(x) = hk1(x) * hk2(x) * hk3(x) *.. なる式が見つかったので、hk1(x), hk2(x), hk3(x) のそれぞれで、a=0.5, b=0 上以外で零点が存在しないことを証明すればよいのです。これも証明可能でした。
zeta(x-0.5)とhk(x)で証明できると言うことは、k(x)での証明が可能であることを意味しています。
以上が証明の概略です。このやり方でこれから証明して見せようと思いますが、ここで躓く方は、以下を読んでも意味が ありませんね。　（＾＾）　失望されなかった方はさらにお付き合いいただければと思います。





第２部　　　　　　証明の本体


さて、k(x) = zeta(x-0.5) * hk(x) ということですから、zeta(x-0.5) と hk(x) の証明を順番にしてゆくことにします。hk(x) の実態についてはまだなにも説明してないので、ピンとこない人もいるでしょうが、気になるなら、「第２部の２」を先に検討していただいても差し支えありません。


第2部の１

ここでは、x=a+biとして、zeta(x-0.5)が、a=0.5 上にしか零点・特異点がないことを証明します。

zeta(x) = 2^x/(2^x-1) * 3^x/(3^x-1) * 5^x/(5^x-1) * ..... という式があります。 これはゼータ関数と素数を結びつける式として有名です。2^x/(2^x-1) や 3^x/(3^x-1) などで、もし零点がa=0上にあれば、x-0.5に移行 したとき、零点はa=0.5上に来ることになります。ですから、zeta(x)で a=0上に零点がくることを証明しても良いのですが、 計算結果の是非を調べるためにzeta(x-0.5)をしばしば使うので、ついでに証明もこちらの式を使うことにしました。

c=x-0.5 と置きます。すると、 zeta(c) = 2^c/(2^c-1) * 3^c/(3^c-1) * 5^c/(5^c-1) * ..... 　となります。
次に、zt1(c) = 2^c/(2^c-1),　zt2(c) = 3^c/(3^c-1),　zt3(c) = 5^c/(5^c-1), 　となるように　zt1(c),　zt2(c)　..... を定義します。 つまり、zeta(c)の零点がa=0.5上にしかないことを証明するとは、zt1(c),　zt2(c),　zt3(c), .... のそれぞれの関数において、 その複素平面での零点がa=0.5、b=0 上にしか存在しないことを証明すればよいと言うことです。それでは順番に証明してみせることにします。


■　　　zt1(x-0.5) 　つまり、2^(x-0.5) / { 2^(x-0.5)-1}　の証明

というわけで、まずは、zt1(x-0.5) = 2^(x-0.5) / { 2^(x-0.5)-1} の場合を証明します。これは図を書いて零点の場所を確認するまでもなく、方程式として直接、解を求めることができます。

xは複素数ですからa+biと書くことが出来、c=a-0.5、p=b*log(2)/log(e) と表記することにして、式を整理し、 分母にある虚数を消すと、zt1(a+bi-0.5) = { 2^c(2^c-cos(p)) - i*2^c*sin(p) } / { 2^(2c) - 2*2^c*cos(p) + 1 } となります。この式の分母が零でない場合、実部と虚部がともに零になるのが零点です。 分母が零になると無限となり値を持ちません。
この無限も零点に関係するので、まず、分母が零となる場合を調べます。

分母が零とは、 2^(2c) - 2*2^c*cos(p) + 1 = 0 ということです。これは 2^(2c) + 1 = 2*2^c*cos(p) として、解くことが出来ます。両辺を2*2^cで割ると、(2^c+1/2^c)/2=cos(p) となります。 (2^c+1/2^c)/2>=1 かつ、cos(p)=<1ですから、成り立つためには (2^c+1/2^c)/2=1 かつ、cos(p)=1 でなければなりません。 つまり、c=1 ゆえに a=0.5、p=2pi*r (rは0, 1, 2, 3, ... ) ゆえに b=2pi*r*log(e)/log(2) となります。計算すると、b=0, b=9.064720283, b=18.12944056,. . . となります。これでaとbが確定し、この(a, b) では分母が零となるので、値が存在しないことになります。

分母が零とならないところでは、分子が零となるのが零点ですから、そこを計算してみます。 実部が零、虚部が零となるのが零点ですから、2^c(2^c-cos(p)) = 0 , 2^c*sin(p) = 0 をそれぞれ解いたところ、 c=0, p=0 となり、a=0.5, b=2pi*r*log(e)/log(2) となりました。 これは分母を零とする点とまったく一致しています。ですから、この点では零割る零という形になっているということです。 この点は特異点であり、他の式との加減乗除の過程で零点を生み出す可能性を秘めているので、零点になる場所として認識することも出来ます。そして、この点以外には特異点も零点もないことは、式の分析から明らかです。
ですから、zt1(c)における零点、もしくは特異点がa=0.5 かつ b=0, b=9.064720283*r にしかないことが証明されました。


■　　　zt2(x-0.5) = 3^(x-0.5) / { 3^(x-0.5)-1 } の証明


zt2(x-0.5)のときも、基本的にはzt1(x-0.5)と同じです。

xをa+biとし、c=a-0.5 とし、p=b*log(3)/log(e) として、分母にある虚数を消すと、 zt2(a+bi-0.5) = { 3^c * (3^c-cos(p)) - i * 3^c*sin(p) } / { 3^(2c) - 2*3^c * cos(p) + 1 } 　となります。

分母が零となるのは、 3^(2c) - 2*3^c*cos(p) + 1 = 0 ということで、これを解くと、 cos(p) = 1/2 * (3^c+1/2) となり、(3^c+1/3^c)>=2 かつ、cos(p)=<1　となります。これを成り立たせるのは c=1, p=2pi*r (rは0, 1, 2, 3, ... ) となるので、a=0.5 かつ b=0, b=5.719201735, b=11.43840347, となります。 計算方法はzt1(c)のときとまったく同じです。

分子が零のときも同じやり方で、a=0.5 かつ b=0, b=5.719201735, b=11.43840347, を得ることが出来ます。そして、これ以外に解はないのですから、これで証明は終わりです。

つまり、b=0, b=5.719201735, b=11.43840347,... は、すべてa=0.5上の点なので、零点、特異点の存在範囲としては、a=0.5上にしかないことが証明されました。


■　　　zt3(x-0.5) より先の証明

さて、zt1(x-0.5), zt2(x-0.5) が証明できたのですから、同じやり方でzt3(x-0.5), zt4(x-0.5)　も出来ることは明らかです。 そこで、2, 3, 5, 7.. の数を一般化してgと表記し、式もzt(x-0.5)と表記して、zt(x-0.5)=g^(x-0.5)/(g^(x-0.5)-1) という式を用いて、全体をまとめて証明することにします。 やり方としては、zt1(x-0.5), zt2(x-0.5) のときと同じです。

xをa+biとし、c=a-0.5 とし、p=b*log(g)/log(e) として、分母にある虚数を消すと、 zt(a+bi-0.5) = { g^c * (g^c-cos(p)) - i * g^c*sin(p) } / { g^(2c) - 2*g^c * cos(p) + 1 } となります。

分母が零となるのは、 g^(2c) - 2*g^c*cos(p) + 1 = 0 ということで、これを解くと、 cos(p)=1/2 * (g^c+1/2) となり、(g^c+1/g^c)>=2 かつ、cos(p)=<1　となります。これを成り立たせるのは c=0, p=2pi*r (rは0, 1, 2, 3, ... ) となるので、a=0.5, b=0, b=p*log(e)/log(g), となります。

分子が零となるのは、g^c(g^c-cos(p)) = 0 , g^c*sin(p) = 0 となる点で、その解は、 c=0, p=0 となり、a=0.5, b=2pi*r*log(e)/log(g) となります。bはいくつもの値を取りますが、aは0.5のひとつですから、zt(x-0.5)における零点、もしくは特異点はa=0.5上にしかないことが証明されました。



zeta(x-0.5)についての証明終わり。








第２部の２

ここではhk(x)が、実数部分（b=0）を除いて、a=0.5 上にしか零点・特異点がないことを証明します。



第２部の２の１　　　　hk(x)とは


そこで、このhk(x)の中身ですが、それはこの式の定義に従って計算すれば出てきます。つまり、 hk(x) = zeta(x-0.5) / k(x)　が定義で、zeta(x) も　k(x) も既知の式ですから、hk(x)を計算することができます。

zeta(x) = Σ1/n^x　ですから、 zeta(x) = 1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + 1/5^x + .. 　ということです。
k(x) = zeta(x) + 1/(x-1)/n^(x-1) - 1/2/n^x + x/12/n^(x+1) - x*(x+1)*(x+2)/6!/n^(x+3) + .... 　であることは既に知られています。 （第５の広場参照のこと）

k(x)の式の後半は見にくいので、k(x) = zeta(x) + ber(x) となるようなber(x)を定義しておくこともできます。 つまり、ber(x) = 1/(x-1)/n^(x-1) * { 1 - (x-1)/2n + (x-1)x/12n^2 - (x-1)x(x+1)(x+2)/6!n^4 + ...　} 　 これをΣで書き直すと、ber(x) = 1/(x-1)/n^(x-1) * Σ { B(r)*(x-1)*x*(x+1)*...(x+r-2) / r!/n^r } 　となります。 B(r)はベルヌーイ数です。

というわけで、hk(x)の計算は理論上は可能となりました。しかし、いざやってみるとけっこう面倒だったので、さらに判りやすくするために、zeta(x) = 2^x/(2^x-1) * 3^x/(3^x-1) * 5^x/(5^x-1) * 7^x/(7^x-1) * ... 　という式を利用することにします。 f1(x), f2(x), f3(x) ... という式を次のように定義します。

まずは、f1(x) = { 2^(x-0.5) / (2^(x-0.5)-1) } / k(x) とします。次に、 f2(x) = { 2^(x-0.5) / (2^(x-0.5)-1) } * { 3^(x-0.5) / (3^(x-0.5)-1) } / k(x) 、次に、f3(x) = { 2^(x-0.5) / (2^(x-0.5)-1) } * { 3^(x-0.5) / (3^(x-0.5)-1) } * { 5^(x-0.5) / (5^(x-0.5)-1) } / k(x) となります。
f1(x), f2(x), f3(x) ... と順次計算してゆくと、この式は最終的にhk(x) に近づくことになります。


■　　　f1(x) を求めます

そこでまず、f1(x) = 2^(x-0.5) / (2^(x-0.5)-1) / k(x) を実数の範囲で計算することにします。f1(x) = t1 + t2/2^x + t3/3^x + t4/4^x + .... とおいて、順次、t1, t2 .. を求めてゆきます。幸い、t1,t2..は√と有理数で表現できるので、有効桁数を上げ、時間さえかければいくらでも確定させることが出来ます。これを計算するために、私が多桁形算用に作ったTk.javaを使いました。実際に計算したプログラムはam002.javaと名付けておきます。

結果は次のようになりました。
f1(x) = 1 + (√2-1)/2^x - 1/3^x - (√2-2)/4^x - 1/5^x - (√2-1)/6^x -1/7^x + 2(√2-1)/8^x + 0/9^x - (√2-1)/10^x - 1/11^x - (√2-2)/12^x -1/13^x ... となっています。このあたりまで来ると法則が見えてきます。 素数の項数はすべて-1です。偶数の項数には√2が関係しているようです。
長くなったので、以下のように纏めておきます。

t1=1, t2=(√2-1), t3=-1, t4=-(√2-2), t5=-1, t6=-(√2-1), t7=-1, t8=2(√2-1), t9=0, t10=-(√2-1),
t11=-1, t12=-(√2-2), t13=-1, t14=-(√2-1), t15=1, t16=2(√2-2), t17=-1, t18=0, t19=-1, t20=-(√2-2),
t21=1, t22=-(√2-1), t23=-1, t24=-2(√2-1), t25=0, t26=-(√2-1), t27=0, t28=-(√2-2), t29=-1, t30=(√2-1),
t31=-1, t32=4(√2-1), t33=1, t34=-(√2-1), t35=1, t36=0, t37=-1, t38=-(√2-1), t39=1, t40=-2(√2-1),
t41=-1, t42=(√2-1), t43=-1, t44=-(√2-2), t45=0, t46=-(√2-1), t47=-1, t48=-2(√2-2), t49=0, t50=0,
t51=1, t52=-(√2-2), t53=-1, t54=0, t55=1, t56=-(√2-1), 以下略です。

素数は-1, 2の累乗は、t2=(√2-1), t4=-(√2-2), t8=2(√2-1), t16=2(√2-2), t32=4(√2-1), t64=4(√2-2), ・・・　となっています。
3, 5 ,7の累乗、およびその倍数はすべて0、あとは、分母を因数分解したとき出てくる数字の項数を掛けると答えになります。 ただしプラスマイナスは別途検討が必要です。特にt4=-(√2-2) となっていて法則に乱れが生じている点には注意しなければなりません。


■　　　f2(x)を求めます

次に c=x-0.5 として、f2(c) = 2^c/(2^c-1) * 3^c/(3^c-1) / k(x) 　を求めます。

f2(c)= t1 + t2/2^x + t3/3^x + t4/4^x + ... とすると、
t1=1, t2=(√2-1), t3=(√3-1), t4=-(√2-2), t5=-1, t6=(√2-1)*(√3-1), t7=-1, t8=2(√2-1), t9=-(√3-3), t10=-(√2-1) , t11=-1, t12=-(√2-2)*(√3-1), t13=-1, t14=-(√2-1), t15=-(√3-1), t16=-2(√2-2), t17=-1, t18=(√2-1)*(√3-3), t19=-1, t20=(√2-2), t21=-(√3-1), t22=-(√2-1), t23=-1, t24=2(√2-1)*(√3-1), t25=0, t26=-(√2-1), t27=-3(√3-1),
以下略です。

f1(x)を修正した程度の違いしかありません。


■　　　f3(x)を求めます

次に c=x-0.5 として、f3(c) = 2^c/(2^c-1) * 3^c/(3^c-1) * 5^c/(5^c-1) / k(x) 　を求めます。
その結果は以下のとおりです。

f3(c)= t1 + t2/2^x + t3/3^x + t4/4^x + ... とすると、
t1=1, t2=(√2-1), t3=(√3-1), t4=-(√2-2), t5=(√5-1), t6=(√2-1)*(√3-1), t7=-1, t8=2(√2-1), t9=-(√3-3), t10=(√2-1)*(√5-1) , t11=-1, t12=-(√2-2)*(√3-1), t13=-1, t14=-(√2-1), t15=(√3-1)*(√5-1), t16=-2(√2-2), t17=-1, t18=-(√2-1)*(√3-3), t19=-1, t20=-(√2-2)*(√5-1), t21=-(√3-1), t22=-(√2-1), t23=-1, t24=2(√2-1)*(√3-1), t25=(√5-5), t26=-(√2-1), t27=-3(√3-1),
以下略です。

f1(x), f2(x)と大した違いはありません。


■　　　hk(x)を数式で表わします

f1(x), f2(x), f3(x) を眺めると、次がどうなるかを予想することができます。そしてf(x)の極限であるhk(x)が最終的にどうなるかを明らかにすることはそれほど難しくありません。

その式は次のようなものです。
hk(x) = 1 + (√2-1)/2^x + (√3-1)/3^x - (√2-2)/4^x + (√5-1)/5^x + (√2-1)(√3-1)/6^x + (√7-1)/7^x + 2(√2-1)/8^x - (√3-3)/9^x + (√2-1)(√5-1)/10^x + (√11-1)/11^x - (√3-1)(√2-2)/12^x + (√13-1)/13^x + (√2-1)(√7-1)/14^x + ...

rが素数のとき、t(r) = (√r-1) です。r=r1^pで、p=2 のとき、t(r) = -(√r1-r1)/r1^2x となり、p=3では、t(r) = r1(√r1-1)/r1^3x となり、p=4では、t(r) = -r1(√r1-r1)/r1^4x 、　p=5では、t(r) = r1^2(√r1-1)/r1^5x となります。
r=r1*r2 のとき、t(r1)/r1^x, t(r2)/r2^x ですから、t(r) = t(r1) * t(r2) となります。

これで、hk(x)の数式表現が完成したことになります。これを使ってhk(x)の零点、また特異点がすべてa=0.5、b=0 上にあることを証明することにします。






第２部の２の２　　　　hk(x)を因数分解する


さて、hk(x)の式を眺めると判るのですが、この式は因数分解することができます。数の因数分解ではありません。 hk(x)を、見事にいくつかの式の積として表わすことが出来ます。つまり、hk(x) = hk1(x) * hk2(x) * hk3(x) *.. と書けるような hk1(x), hk2(x), hk3(x) が存在し、それぞれ綺麗な数式で表記することができます。それが以下の式です。

hk1(x) = 1 + (√2-1)/2^x - (√2-2)/4^x + 2(√2-1)/8^x - 2(√2-2)/16^x + 4(√2-1)/32^x - 4(√2-2)/64^x + 8(√2-1)/128^x -8(√2-2)/256^x + 16(√2-1)/512^x - 16(√2-2)/1024^x ...

hk2(x) = 1 + (√3-1)/3^x - (√3-3)/3^2x + 3(√3-1)/3^3x - 3(√3-3)/3^4x + 9(√3-1)/3^5x - 9(√3-3)/3^6x + 27(√3-1)/3^7x - 27(√3-3)/3^8x + ...

hk3(x) = 1 + (√5-1)/5^x - (√5-5)/5^2x + 5(√5-1)/5^3x - 5(√5-5)/5^4x + 25(√5-1)5^5x - ...

という具合です。

hk(x) = hk1(x) * hk2(x) * hk3(x) * .... 　ですから、hk1(x), hk2(x) を順次検討してゆき、それぞれがa=0.5, b=0 上にしか零点、もしくは特異点が存在しないことが証明出来ればよいわけです。





第２部の２の３　　　　hk1(x)の証明


そこで、まずhk1(x)を証明することにします。

hk1(x) = 1 + (√2-1)/2^x - (√2-2)/4^x + 2(√2-1)/8^x - 2(√2-2)/16^x + 4(√2-1)/32^x - 4(√2-2)/64^x + 8(√2-1)/128^x -8(√2-2)/256^x + 16(√2-1)/512^x - 16(√2-2)/1024^x ...
となっています。これに x=a+bi を代入して、任意のa上の実部線、虚部線を描こうとしてみたところ、図形としては収束しないようで、零点の不存在を証明する手がかりは得られませんでした。しかし、いくつかの操作を加えるとhk1(x)の動きを把握することが出来るようになります。

hk1(x)=Σ[n=0,∞]t(n)/2^nx では振動・発散してしまいますが、nを任意の有限な値にするとhk1(x)もすべて有限な値になります。この場合のhx1(x)をhx1(x,n)と書き表すことにします。

hx1(x,0) = 1 であり、
hx1(x,1) = 1 + (√2-1)/2^x
hx1(x,2) = 1 + (√2-1)/2^x- (√2-2)/4^x
hx1(x,3) = 1 + (√2-1)/2^x- (√2-2)/4^x + 2(√2-1)/8^x
ということです。
hx1(x,∞) = hk1(x) ということです。

これでhx1(x)を有限な値で分析することが可能となります。

しかし、それでもまだ値が大きく、図を書くことが容易ではありません。
そこで、任意のa上のhk1(x,n)の値を調べてみると、その中ではhk1(a+0i,n)が一番大きくなることが確認できたので、すべての値をhk1(a+0i,n)で割ることにします。すると、hk1(x,n)は必ず１以下の値になり、図で表示しやすくなるし、零点の分析も可能になります。以後、断りのない限り、hk1(x,n)の値はhk1(a+0i,n)で割ったものを使いますのでご注意ください。
hk1(x)を計算するプログラムはas002.javaとしてあります。

注　　　　hk1(a+0i,n)で割るという便宜上の操作が嫌いな方がおられるかもしれません。そういう人は、あとで述べる補足のところに書いているように、hk1(a+0i,n)を掛けるともとの値になるので、本来のhk1(x,n)の値に直して、修正して理解していただければと思います。座標軸の単位を変えると、結局は同じ図形になります。結論に影響を与えることはありません。


■　　　　b軸(Y軸)上の繰り返し

次に、b軸上の値には繰り返しがあることを確認しておきます。

hk1(a+bi)の実部は、 1+ (√2-1) * cos(b*log2/log(e)) / 2^a - (√2-2) * cos(b*log4/log(e)) / 4^a + 2(√2-1) * cos(b*log8/log(e)) / 8^a .... となります。ここで、log4=2log2, log8=3log2 なので、p=b*log2/log(e) とすると、 1 + (√2-1) * cos(p) / 2^a - (√2-2) * cos(2p) / 2^2a + 2(√2-1) * cos(3p) / 2^3a .... と書き直すことが出来ます。 この場合、cos(p), cos(2p), cos(3p), ... は、pが2piの倍数のとき同じの値になります。ですから、2pi=b*log2/log(e) を計算し、b=9.064720283を得ます。つまり、実部は9.0647202...ごとに繰り返されると言うことです。

虚部も同じです。虚部の式は 　- (√2-1) * sin(p) / 2^a + (√2-2) * sin(2p) / 2^2a - 2(√2-1) * sin(3p) / 2^3a .... となります。ここで、pが2piの倍数のときは全体が同じ値になるので、実部と同様、9.0647202... で繰り返されることになります。このことは図でも確認できます。それゆえ、零点の不存在証明は、b<9.0647202.. でなされれば充分であることが判ります。以後、比較の便宜上、hk1(x)では、p=9.0647202 を基準に図を描くことにします。

n=4のとき、hk1(x,n)=Σt(n)/2^(n*(a+bi)) の図






















この図の観察から判ることは、実部がb=0からb=pまでの図で左右対称であることです。また、虚部もb=0からb=pまでの図で、上下左右反転させた図が元の図に重なります。

図だけでははっきりしないので、数値データも挙げておきます。

実部の数値データの最初の部分は　data[0][0]=3.9999999; data[0][1]=3.9430827; data[0][2]=3.7752394; data[0][3]=3.5050311; data[0][4]=3.1461863;　となっていて、終わりの部分は、data[0][96]=3.1461863; data[0][97]=3.5050311; data[0][98]=3.7752394; data[0][99]=3.9430827; data[0][100]=3.9999999; となっていて、 数値が完全に一致しています。

虚部も同じで、data[1][0]=1.0E-50; data[1][1]=-0.5460172799999999; data[1][2]=-1.0669677; data[1][3]=-1.5391485; data[1][4]=-1.9415045;　終わりの部分は、data[1][96]=1.9415045; data[1][97]=1.5391485; data[1][98]=1.0669677; data[1][99]=0.5460172799999999; data[1][100]=1.0E-50;　となっています。 プラス・マイナスが異なるだけで、数値は一致しています。

このようは現象はa+biのあらゆるところに現れるので、零点を確認するためには、p/2=4.5323601まで調べれば充分であることが判ります。



■　　　　波頭の数はnと関係している

n=4のときの波頭の数は４でしたが、n=8とすると８になります。n=16では１６になります。a=0, n=8 の図を載せておきますが、a<0.5のほとんどでこのような波が現れ、波頭の数とnは連動しています。



しかし、aがかなり大きなマイナスになると波頭の数が減少し、ついにはp内部でひとつだけになります。これはhk1(a+bi)の式を見ると判りますが、aがマイナスのとき、1/2^(ra)が2^(-ra)ですから、値があまりに巨大になり、他の級数の項目を加えても影響されないほどになります。そして最後にはt(n)/2^nxを計算しただけとなり、波頭が１となります。a=-1000, n=8 の図を載せておきます。






aが0.5に近づくと波はz=0近くで小さく変動しますが、波が消えるわけではありません。

















第２部の２の４　　　　a<0.5 には零点が存在しないことを証明します。


さて、a<0.5 と a>0.5 ではhk1(x)の形が異なるので、これを分けて証明することにします。

上記のa=0.4, n=8 の図を見ても判るように、a<0.5では実部と虚部が交差することがあり、もしかすると零点があるかもしれないという感じがします。しかし、実部、虚部の線はきわめて法則的に並んでいて、交わることは交わるのですが、普通はz=0で交わることはありませんし、nが極大のところではz=0で交わることがありません。


まずは、hk1(-10,8)の図（右図）を見てください。高いところはz=1で、低いところがz=-1で、真ん中がz=0です。p/2というのが波の繰り返しを表わすpの半分と言うことで、波頭が４つあるということは、全体で８になり、n=8と一致します。また、縦軸（ｚ軸）のグレー線はp/8を意味していますが、その線上に実部の波頭が来ているように見えます。これは、nが増加しても同じことで、高さは常に１、波頭はp/nの近くにあります。

この図から言えることは、実部線と虚部線は同じ形でリズムよくずれていることです。ですから、z=0で交わることはないということが判ります。



■　　　　　　実部の波の高さはa=0.5で零になる　（ hk1(a+bi,n)で割った場合の説明です ）

さて、a<0.5では、a=-10あたりの波の高さ、低さはだいたい同じですが、-5を過ぎると次第に中央部分がへこみ始め、0.5では零になってしまいます。下記の a=0.4 の図を見るとへこみ方が判ります。波頭の位置に注目すると、b=0 は1ですが、そこから急激に下がり、第１波頭からなだらかに減少します。そして、p/2で底となり、またなだらかに増加に転じ、b=p付近でまた急激に増加して、b=p で１になります。


nが増加すると波頭が増え、波の基準線が少し下がりますが、基準線についてはすぐに収束して、同じ位置で波打つ形になります。この場合、波の中央だけは振動せずに定位置に留まりますので、その値を調べてみたところ、面白いことに法則のある数式で表すことができました。

f(a) = 1 - √2*2^a + 4^a - √2*8^a/2 + 16^a/2 - √2*32^a/4 + 64^a/4 - ...
とても綺麗ですね。

試しにa=0.5を代入すると、1と-1の繰り返しになり、計算不能となりますが、まさにa=0.5に相応しい答えが出てきます。

この式を見つけたので、以下の説明はいらなくなったかもしれませんが、一応、素朴なやり方で、波の中央(b=p/2) がa=0.5で０と なることを計算と図で示しておきます。

a=0.5として、n=2のときの値がz(1)で、n=4のときの値がz(2)です。

波の中央の点の値の推移
z[1]=0.63060193;
z[2]=0.46049571;
z[3]=0.29911947;
z[4]=0.17586154;
z[5]=0.096408001;
z[6]=0.050645307;
z[7]=0.025980550;
z[8]=0.013161243;
z[9]=0.0066242130;


これを図示すると右図のようになります。綺麗に０に近づいているのが判ります。

中央の波の高さが０になるのと同様、周辺の高さも０に近づきます。そのことは計算結果で示しておきます。

たとえば、p/16を基準として、その右にできる実部の波頭の高さを計算したところ、次のようになりました。
z(r)のrはn=2^rを意味しています。

z(4)=0.23211647;
z(5)=0.12864904;
z(6)=6.9360698E-2;
z(7)=3.6262367E-2;
z(8)=1.8591242E-2;
z(9)=9.4531372E-3;
z(10)=4.8041931E-3;

綺麗に零に近づいているのが判ります。

p/8や、p/4を基準とした波頭についても同じような結果になります。ですから、a=0.5においては、b=0, b=p を除いて、すべてのbにおいてz=0 が成り立つことになります。（ただし、hk1(a+0i,n)で割らなかった場合については、別の考察が必要です。それについては、補足の項目で説明する予定です。）



■　　　　　　実部の波底の動き



波底も波頭に連動して似たような動きをしますが、a=0.5近傍ではやや異なるところもあります。しかも、波底の動きは証明にも直結しているので、少し丁寧に説明しておきます。

波底の高さは、a=-10ではz=-1あたりにありますが、次第に０に近づいてゆきます。この現象は波頭と同じです。しかし、a=0.2あたりから、nの値によっては０を越えてプラスに転じるところが現れ始めます。そこでは波頭も波底もプラスになり、z=0との交点がなくなります。たとえば、hk1(0.4, 8)の場合（上記の図、および下記の表参照）、第１の波以外は全体的にプラスになっています。nが増加するとマイナスの波底が増えてきますが、aが0.5に近づくとマイナス波底が減ってきます。ですから、a=0.5の近傍で、nがある程度大きいとき、はたしてその波底がプラスなのか、マイナスなのかは実に微妙な問題となります。

そこで、この点をより明らかにするために、nを特定し、aが小から大へと変動するとき、波底がどのように動くかを考察してみました。aがマイナスのときは、だいたいどのnに対しても波底はマイナスであって、z=0との交点が存在しています。n=8のとき、b=p/2で、a=0.20595081を越えるとプラスに転じて、a>0.20595081ではz=0との交点は無くなります。b=p/4の右に出来る波底では、a>0.23159954でプラスに転じます。b=0では、a>0.43693194でプラスになります。つまり、このとき、すべての波底がプラスになり、z=0との交点が消滅して零点も存在しないことになります。

n=16として同じ作業をしてみると、b=rp/nの各線の右側に出来る波底がいつプラスに転じるかが判ってきます。n=32でも同じ作業が可能です。これをまとめたのが以下の表です。


波底の交点のなくなるaの値

ご感想、ご質問、その他のご意見は、以下のアドレスまでお寄せください。