リーマン仮説（リーマン予想）の証明　　　ver29

第１１部　（まとめ）　　　　事例分析




■１１の１■　　　　　　事例（１，１，１）以降を分析


（１，＊、＊）の場合、虚零線分類番号８，９，１１，１２，１３，１４，１５，１７については、作図の段階でＣタイプ（虚零線の交差）の矛盾があることが明らかなので、以下の分析からは除いておきます。これらの事例の矛盾は、誰でも容易に確認できることでしょう。




事例（１，１，１）は、実零線・第１横Ｕ字形の下側と第２横Ｕ字形の下側にリーマン零点があります。右図の中に a=0.5 の縦線がありますが、この線上を動く極座標を描きます。すると、この中に、(+,-)領域から(+,+)領域に変化する箇所が見つかります。








p1 から p2 までの角度は減少です。ところが、p2から先は増加に転じます。つまり、角度が増加しています。ところが、a=0.5上の角度は必ず減少することが証明されているので、角度増加は矛盾と認定できます。（Ｄ矛盾）ゆえに、この事例は起こり得ないことが証明されました。











事例（１，１，２）はＪ２タイプの矛盾です。ふたつのリーマン零点がある横線をb1とし、その線上の極座標図を描いてみます。リーマン零点とは　(0,0)　を通過することなので、ふたつのリーマン零点とは、(0,0)　を２回通過することを意味します。すると、そこに輪が発生します。その輪の中に角度pi/2軸との交点があります。それがｐ１点です。




このｐ１点が極座標の回転と共にどのように動くかを見てみます。

k(s)に角度を加えると極座標図は左に回転します。すると、ｘｙ座標のｐ１は右にずれます。そのまま続けて４５度以上回転させると、どこかでｐ１がa=0.5軸を超えることになります。







そのときの実虚零線図は右図のようになっています。この時、a=0.5上の縦の極座標は(+,+)から(-,+)へ移行することになります。しかし、(-,+)への移行は角度増加を意味します。a=0.5の角度は常に減少であることはすでに証明されています。ですから、角度増加が起きることは矛盾と認定できます。

よって、このような矛盾の起きる実虚零線図はあり得ないことになり、このような矛盾を起こす事例（１，１，２）は起こり得ないことが証明されました。







（１，１，３）は、ふたつのリーマン零点の間を実零線と虚零線が通っています。実零線との交点をｐ１，虚零線との交点をｐ２とします。極座標図を左に回転させるとｐ１，ｐ２とも右のリーマン零点に近づきます。そして、必ずa=0.5軸を超えることになります。

ｐ２が超えるときは　(+,-)領域から(+,+)領域へと移動するところが現われ、角度増加が起こります。ｐ１が超えるときは　(+,+)から(-,+)への移動となります。これも角度増加です。このような角度増加が起きることは矛盾と認定できます。

よって、事例（１，１，３）のような作図はあり得ないことが証明できました。







（１，１，４）は、零線図の中に最初から角度増加の場所があります。a=0.5上の角度は(+,-)から(+,+)に移るとは角度増加を意味しています。ですから、Ｄタイプの矛盾となります。

（１，１，５）、（１，１，１８）も同じです。











事例（１，１，６）は、第１横Ｕ字形の下、第２横Ｕ字形の下にリーマン零点があり、虚零線は第１と第２、第３と第４が繋がっている場合です。このとき、実零線とｂ１との交点をｐ１と名付けます。（１，１，２）と同じように、極座標を左回転させ、ｐ１を右にずらしてa=0.5を超えるところまで持っていきます。すると、ここに角度増加（Ｄ矛盾）が起こります。これは矛盾なので、（１，１，６）のような作図は起こり得ません。

（１，１，７）も同じです。




事例（１，１，１０）は、(+,-)から(+,+)へ移行する場所があるので矛盾です。

別の作図をすると、この矛盾を避けることはできますが、リーマン零点の間に虚零線が通っているので、ｂ１極座標図を回転させると、(+,-)から(+,+)への移行部分が現われ、結局、角度増加が起こります。ゆえに、この図そのものが矛盾を持つと認定できます。

（１，１，１６）も同じです。






■１１の２■　　　　　　事例（１，２，＊）の分析



（１，２，１）は、実零線第１横Ｕ字形の下側、第２横Ｕ字形の中央にリーマン零点があり、虚零線はすべて横一本線の場合です。この場合、最初から　a=0.5の線上に (+,-) から (+,+) に移動する場所があるので、角度増加が起きています。Ｄタイプの矛盾です。












（１，２，２）はＪ２タイプ矛盾です。ｂ１極座標を回転させると、実零線上のｐ１点がa=0.5の右に来るので、そこで角度増加が起こります。（１，２，３）、（１，２，４）、（１，２，６）、（１，２，７）も同じです。










事例（１，２，１０）は、第１、第４虚零線が繋がり、第２，第３虚零線が繋がっている場合です。このとき、第１虚零線とｂ１線の交点をｐ１とします。ｂ１極座標を左回転させるとｐ１はｐ２に移動します。さらに傾けると左リーマン零点と合体します。ここはすでに第２・第３虚零線が通っています。虚零線同士は交差することは出来ず、接触する形をとります。しかし、実零線と直交するので、第１・第４虚零線は実零線横Ｕ字形の内部に入ることになり、そこから出ることが出来なくなります。これは矛盾と認定できます。

このような矛盾を起こす（１，２，１０）の作図は実際に起きることはありません。











（１，２，１６）は、ｂ１極座標図を左回転させてｐ１を右リーマン零点に近づけると、必ず a=0.5 軸を通過するので、そこで角度増加が起きます。これは矛盾なので、このような作図は起こり得ないことが証明できます。

（１，２，１８）も同じです。





■１１の３■　　　　　　事例（１，３，＊）の分析



（１，３，１）、（１，３，５）、（１，３，１８）はＤタイプの矛盾です。a=0.5の線上で角度増加が起きています。












（１，３，２）は実零線第１横Ｕ字形の下側、第２横Ｕ字形の上側にリーマン零点があり、虚零線第１と第２が繋がっている形です。この場合、第１横Ｕ字形の実零線と、リーマン零点を結ぶｂ１線との交点をｐ１とします。

極座標図を左回転させると、p1点は右リーマン零点の方向に移動します。やがて、a=0.5線を越えることになりますが、このとき、(+,+)から(-,+)への角度増加が起こります。

a=0.5線を越えないような作図は出来ないので、角度増加は必ず起きますが、これは矛盾なので、このような矛盾の起きる（１，３，２）の形そのものが起こり得ないことを示しています。



（１，３，３）、（１，３，６）、（１，３，７）、（１，３，１６）も同じＪタイプ矛盾です。。




（１，３，４）は、a=0.5 において、(+,-)から(+,+)への移動があり、角度増加の矛盾となります。

（１，３，５）、（１，３，１８）も同じです。









（１，３，１０）は、ｂ１線と第２・第３虚零線の交点をｐ１とし、ｂ１極座標を回転させると、ｐ１は右リーマン零点方向へ移動します。このとき、必ずa=0.5 を超えるので、ここで、(+,-)から(+,+)への移動が発生し、角度増加の矛盾となります。











■１１の４■　　　　　　事例（１，４，＊）の分析




（１，４，１）はＤタイプ矛盾で、a=0.5線上に角度増加が見られます。（１，４，４）、（１，４，５）、（１，４，１８）も同じです。


事例（１，４，２）は第１横Ｕ字形の中央と、第２横Ｕ字形の下側にリーマン零点があり、第１，第２虚零線が繋がっている場合です。このときのｂ１極座標を回転させても、虚零線については角度増加を示すことが出来ません。そこで、実零線を使って矛盾をあぶり出します。








b1極座標を９０度以上左に回転させます。右図は作図の都合で、角度軸を右回転させています。つまり、水色軸が新しい角度軸となっています。この水色軸との交点が回転させた実零線・虚零線の通り道になります。

a=∞ を出た極座標線は赤点ｐ３を通り、右リーマン零点を通過し、青点ｐ２を通り、左リーマン零点を通過し、赤点ｐ４を通り、その後は普通に渦を巻きます。この時の実虚零線図を載せておきます。最初は（−、＋）で、ｐ３を通過すると（ー、−）となり、右リーマン零点以後は（＋、＋）、ｐ２を通過すると（ー、＋）、左リーマン零点からｐ４までが（＋、−）、その後は（＋、＋）となります。そのようになる実虚零線図を作図すると、実零線が a=0.5 の線近くを通ります。回転角度を調節すると、必ずa=0.5を超える図を作ることが出来ます。このときの a=0.5 の極座標は (+,+)　から (-,+)、そして(+,+)へと移行する場所が発生し、ここで角度増加が起こります。これは矛盾と認定できます。

このような矛盾を起こす（１，４，２）の事例は起こり得ないことが証明できました。








事例（１，４，３）は、第２，第３虚零線が繋がっているので、ｂ１極座標を回転させると、虚零線とｂ１との交点がa=0.5を超える場合が発生し、角度増加が起こります。これは矛盾と認定できます。





（１，４，６）、（１，４，７）は（１，４，２）と同じ矛盾。

（１，４，１０）、（１，４，１６）は（１，４，３）と同じ矛盾。

（１，４，１８）はＤ矛盾。a=0.5上に角度増加が起きています。





■１１の５■　　　　　　事例（１，５，＊）の分析




（１，５，１）、（１，５，４）、（１，５，５）、（１，５，１８）はＤタイプ。


（１，５，２）は、リーマン零点の間を虚零線が通る形です。虚零線とｂ１線の交点をｐ１とします。極座標を右か左に回転させると、左右どちらかのリーマン零点とｐ１点が合体します。その点では虚零線同士が接触する形になりますが、実零線とは直交しているので、虚零線が横Ｕ字形の内部に入ることになり、出口がなくなるという矛盾が生じます。

実零線と直交しながら、横Ｕ字形の内部に入らないことは不可能なので、矛盾は解消できません。よって、このような矛盾を生じさせる（１，５，２）の形になることはありません。

これは（１，４，２）と同じ矛盾です。

（１，５，３）、（１，５，６）、（１，５，７）、（１，５，１０）、（１，５，１６）もこれと同じＪ矛盾です。




■１１の６■　　　　　　事例（１，６，＊）の分析


（１，６，１），（１，６，４），（１，６，５），（１，６，１８）はＤタイプ矛盾。

（１，６，２）は（１，４，２）と同じＪタイプ矛盾。




■１１の７■　　　　　　事例（１，７，＊）の分析



（１，７，１）、（１，７，４）、（１，７，５）、（１，７，１８）、（１，８，１）、（１，８，４）（１，８，５）、（１，８，１８）はＤタイプ。



事例（１，７，２）のふたつのリーマン零点を結ぶ線をｂ１線とします。ｂ１線と虚零線の交点はふたつありますが、右側のをｐ１，左をｐ２とします。極座標でｐ１がどこに来るかはふたつの可能性があります。というのは、極座標線が(+,-)領域で右廻りになる可能性と、左廻りになる可能性を持っているからです。

まず、左廻りである可能性を検討します。こちらの方があり得る形です。なぜなら、第１，第２虚零線にはリーマン零点があり、ｐ２の絶対値ｒは０から僅か大きい程度であると思われるのに対し、第３虚零線は無限大から降ってきたところで、これから０に向けて減少しているところだからです。






とは言うものの、ｐ２の絶対値が必ずｐ１よりも小さいとは証明できないので、両方検討することになります。ちなみに、極座標の (0.0)からの距離がその点での絶対値を表しています。

ｐ２の絶対値がｐ１よりも小さいときは右図のようになります。この場合、図を左廻りに回転させると（軸は右廻りとなります）、ｐ１点は右リーマン零点に近づきます。そして、この図では５０度あたりで右リーマン零点と合体します。この時、第３虚零線と第４虚零線が接触します。交差することはありません。なぜなら、同種の零線は交差しないことがすでに証明できているからです。

さて、第４虚零線は実零線と直交しています。第４虚零線と接触している第３虚零線も実零線と直交することになります。すると、実零線に対して左から入ってきた第３虚零線は実零線の左側に抜けざるを得ません。ところが、左側に抜けると、そのあとの出口が無くなります。





右廻りのときも論理は同じです。左廻りに回転させると、先の図とは線は異なりますが、実虚零線図は同じ変化で、右のリーマン零点に近づき、やがて合体します。この時、第４虚零線と第３虚零線は接することになりますが、接するとは同じ角度であることを意味しています。すると、実零線とは直交することになり、実零線の横Ｕ字形の中に入り込んでしまい、そこから抜けられなくなります。これは矛盾です。、

右廻りでも、左廻りでも矛盾が発生すると言うことは、（１，７，２）の事例があり得ないことを示しています。







（１，７，３）は、リーマン零点の間に零線がないので、ｂ１極座標を回転させてｂ１との交点を作ります。









虚零線との交点は必ず出来るので、それをｐ１とします。さらに回転させるとｐ１点は左リーマン零点に近づき、a=0.5を超えると、(+,-)から(+,+)へ移行する場所が現われます。これは角度増加なので矛盾です。ゆえに、このような図になることはありません。

（１，７，１６）も同じです。
















■１１の８■　　　　　　事例（１，８，＊）の分析




（１，８，２）は、極座標図を右回転させると、無限点が (1,0) でなくなるので、第４と第５の虚零線が繋がります。第３の繋がる相手はこの図の中にはありませんが、第１虚零線より下の虚零線が一本余っているので、それと繋がると考えられます。

さらに回転させるとｐ１とｐ２が近づき、やがてふたつの点はひとつになります。このとき、第１と第２の虚零線と第３虚零線が接触する形になります。交差しないことはすでに証明されています。

これをさらに回転させると、角度０軸との交点がなくなるので、虚零線の通過点がなくなり、第２と第３の虚零線が繋がり、第１とその前（下）にある虚零線が繋がることになります。





その時の零線図は右図のようになっています。

さて、ｐ１とｐ２が接触したときの接点の角度を考えます。縦線同士が接触するのですから、角度が零になることはありません。ところが、離れた後の図から戻って考えると、ｂ１軸と離れる瞬間ですから、必ず角度０になっていなければなりません。

極限状況として、ｐ１とｐ２が角度０で接触する形を無理矢理考えたとしても、B図のようになり、上下分離したときに先端が尖ってしまい、微分不可の点になります。これは矛盾です。

このような矛盾の起きる（１，８，２）の事例は起こり得ません。









（１，８，３）は、ふたつのリーマン零点の間を実零線が通っている形です。ｂ１線と実零線の交点をｐ１とします。そして、このときの極座標図を右に回転させると、ｐ１は左リーマン零点に近づきます。そして、やがて合体しますが、それがＣ図です。実零線同士は接触するだけで、交差しません。しかし、虚零線が直交しているので、実零線は虚零線の反対側に突き抜けます。しかし、そこから外に出ることが出来ず、矛盾となります。

（１，８，１０）、（１，８，１６）も同じ矛盾です。




















（１，８，６）、（１，８，７）は、（１，８，２）と同じＪ矛盾。











■１１の９■　　　　　　事例（１，９，＊）の分析




（１，９，１）、（１，９，４）、（１，９，５）、（１，９，１８）はＤタイプ。



事例（１，９，２）は第１，第２横Ｕ字形の上側にそれぞれリーマン零点があり、第１，第２虚零線が繋がっています。

この場合、ふたつのリーマン零点の間にある虚零線との交点をｐ１，ｐ２，ｐ３とします。ｂ１極座標図を右回転させると、無限点が零でなくなり、無限点近くに新しい交点が出来るので、第４と第５は繋がります。第３は、第１虚零線のひとつ前にある第０虚零線と繋がると考えられます。

さらに回転させると、ｐ２とｐ３が近づき、やがて合体します。その点をｐ４とします。

ｐ４では、虚零線同士が接触する形になっています。しかし、その直後、交点が消滅するので、虚零線の組み替えが起こり、第２と第３、第１と第０が繋がります。しかし、接触形から分離されるので、先端部分が尖った形になり、そこが特異点となります。しかし、k(s)には特異点は(1,0)、および、リーマン零点候補点以外にないので、矛盾となります。

ゆえに、（１，９，２）の作図が現われることがないことが証明されました。






事例（１，９，３）は、極座標図を回転させてもＤタイプの矛盾は発生しません。そこで別の矛盾を探すことになります。












極座標は右図のようになっています。

リーマン零点の間にある実零線とｂ１線との交点をｐ１とします。極座標の角度を引くと図は右回転します。図としては座標軸を左回転させて考えます。新しい軸はシアン線で表示しています。すると、新しいｐ１点が出来ます。

このときの零線図は右図のようになります。ｐ１点はかなり左リーマン零点に近づきます。このまま回転を続けると、まもなくｐ１点は左リーマン零点と合体します。この時、左リーマン零点を通る実零線第１横Ｕ字形とｐ１点を通る実零線は接線の角度が同じなので、接触する形になります。そして、リーマン零点を通る虚零線と直交します。すると、実零線が虚零線の横Ｕ字形の内部に入ることになり、そこから出ることが出来ず、繋がる相手を失います。これは矛盾と認定できます。

ゆえに、このような矛盾の生じる（１，９，３）の図になることはあり得ないことが証明できました。





（１，９，６）は (∞,b1) の無限点と右リーマン零点の間に虚零線が１本走っています。それとｂ１線との交点をｐ１とします。

さて、極座標図を右に回転させると、新たに角度０軸との交点がひとつ発生します。それをｐ２としておきます。ｐ１はｐ３に移動します。





回転後の無限点はもはや(1,0)ではなくなるので、零線は通りません。ゆえに、ｐ２を通る虚零線は無限点には繋がらず、どこか別の虚零線と繋がるはずです。無限点からｐ２までは(+,-)の領域で、ｐ２からｐ３が(+,+)となっています。また、ｐ２は無限点から始まっているので、第５虚零線と繋がっていることになります。あとの零線の繋がり方は、回転前と同じです。

問題は、この第５虚零線が無限点でないとすると、どこと繋がるかです。第１から第４まではすでに繋がっているので、第５と繋がることはできません。第５の次にある第６虚零線とは、極座標図に角度０軸との交点がないので、繋がることは出来ません。唯一残っているのは、第１の前にある虚零線です。これを第０虚零線と名付けておきます。第０と第５が繋がり、入れ子状態の零線図が出来上がります。

これをさらに回転させると、次第にｐ２とｐ３は近づき、ついにはｐ４で合体します。

このときの零線図がＢ図です。この図の直前では第３と第４の虚零線が繋がり、第５と第０が繋がっています。Ｂ図でふたつの虚零線が接触します。そして、Ｂ図のあとは交点が無くなるので、第３と第０虚零線が繋がり、第４と第５が繋がることになります。

このふたつの虚零線が接触した図から別の組み合わせのふたつが離れた瞬間、虚零線はどちらも尖った形になり、その尖った点は傾きが無くなり、特異点となります。しかし、k(s)には(1,0)を除いて特異点はないので、矛盾となります。







事例（１，９，７）の場合は、ふたつのリーマン零点の間にある虚零線とｂ１との交点をｐ１，ｐ２，ｐ３とします。

ｂ１極座標を回転させると無限点虚部が零でなくなるので虚零線は無限点に繋がることが出来なくなります。この図の中には第３虚零線の繋がる相手はありませんが、第１の前にある虚零線が空いているので、そこと繋がると考えられます。これを第０虚零線と名付けておきます。

極座標図をさらに回転させると、ｐ２とｐ３が近づき、やがてｐ４の点で合体します。

このｐ４では、虚零線が接触する形になります。しかし、その直後、交点が消滅し、虚零線の組み替えが発生します。第２と第３が繋がり、第１と第０が繋がります。この分離のとき、接触形が分断されるので、虚零線が尖った形になり、その点に至る傾きが右と左で異なる特異点となります。しかし、k(s)には特異点がないので、このような尖った形になることはなく、あり得ない形が現われると言うことは矛盾と認定できます。ゆえに、（１，９，７）の図になることはありません。







事例（１，９、１０）は、無限点と右リーマン零点の間にある虚零線に注目します。その交点をｐ１とします。ｂ１極座標図を回転させると、新たな交点ｐ２が発生します。ｐ１はｐ３に移動します。ｐ２は無限点に繋がらないので、第１虚零線の前の第０虚零線と繋がると考えられます。

さらに回転させると、ｐ２とｐ３が近づき、ついにはｐ４で合体します。このとき、虚零線同士が接触する形になります。

ｐ４の直後には交点がなくなり、虚零線はｂ１線を通過しなくなるので、虚零線の組み替えが起きていることが判ります。つまり、第１と第０、第４と第５が繋がります。しかし、繋がるとしても滑らかに繋がることは出来ず、先端部分を持つ尖った形になります。この先端は滑らかでないので、傾きを特定することが出来ず、特異点となります。しかし、k(s)には(1,0)を除いて特異点はないので、矛盾となります。





事例（１，９，１６）はふたつのリーマン零点の間になる実零線との交点に注目します。極座標図を右に回転させると、ｐ１は左のリーマン零点に近づき、やがて合体します。このとき、実零線同士は接触ですが、虚零線と直交することになり、実零線の一部は虚零線の内部に入ることになります。しかし、そこは虚零線に囲まれているので、繋がる相手の実零線はなく、宙に浮いてしまいます。このような矛盾の起きる（１，９，１６）の図が実際に現われることはありません。
















■１１の１０■　　　　　　事例（２，１，＊）、（２，２，＊）、（２，３，＊）の分析


事例（２，＊、＊）で、虚零線の場合分け、１，２，５，７，８，９，１１，１２，１３，１４，１５，１７は共通してＡタイプ、Ｂタイプの矛盾があり、作図できません。これらは初めから検討対象から除外しておきます。



ＡタイプとＢタイプの矛盾が起きる事例を省いて、残りを説明します。

事例（２，１，＊）はすべて、a=0.5上で、(-,+)から(-,-)、もしくは、(+,-)から(+,+)へ、(+,+)から(-,+)へ移るところがあるので、Ｄタイプの矛盾が生じます。







（２，１，６）は (+,+)から(-,+)への角度増加が起きています。










事例（２，２，３）は、(+,-)から(+,+)への角度増加が起きています。










■１１の１１■　　　　　　事例（２，４，＊）の分析

（２，４，４）、（２，４，６）、（２，４，１８）も、Ｄタイプの矛盾です。




事例（２，４，３）はふたつのリーマン零点の間に実零線が通っています。ｂ１線と実零線の交点をｐ１とします。k(s)を回転させると、ｐ１が動きますが、右リーマン零点と合体の方向にずらすことは可能です。そして、やがて右リーマン零点と合体することになりますが、その手前で必ず　a=0.5 の線を越えることになります。超えると、a=0.5 の線が (-,-)から(+,-)に移行することになり、ここで角度増加が生じるという矛盾になります。



（２，４，１０）、（２，４，１６）も同じです。







■１１の１２■　　　　　　事例（２，５，＊）の分析




事例（２，５，３）はふたつのリーマン零点の間に実零線も虚零線もありません。しかし、角度をマイナスすると極座標図が右回転して、左リーマン零点の左側の虚零線が右側に移ります。









b1横線との交点をｐ１、ｐ２，ｐ３とすると、ｐ２点がリーマン零点の間に来ます。右回転を続けると、まもなくa=0.5軸を超えることになります。ここで、(-,-),(-,+),(-,-)という角度増加が発生するので、矛盾となります。

このような矛盾のある事例（２，５，３）は起こり得ません。

（２，５，１０）、（２，５，１６）も同じです。














事例（２，５，４）は、ふたつのリーマン零点の間に虚零線との交点ｐ１，ｐ２があります。極座標図を左回転させると、無限点が虚部零でなくなるので、第２虚零線は第１虚零線と繋がります。さらに回転させると、ｐ１とｐ２が近づき、やがて合体します。ここで、虚零線の接触が起きます。その直後、交点が消滅するので、虚零線の組み替えが起こり、第２と第３、第４と第１が繋がります。これは同じ角度で接触している線分の分離になるので、分離された後の曲線には必ず尖った先端が出来ます。しかし、k(s)は(1,0)とリーマン零点候補以外は特異点はないので、この場所で尖った線分が発生することは矛盾です。ゆえに、（２，５，４）の作図は実際には現われないことが証明されました。

（２，５，６）、（１，５，１８）も同じです。








■１１の１３■　　　　　　事例（２，６，＊）の分析





事例（２，６，３）は、ふたつのリーマン零点の間に１本の虚零線があります。ｂ１極座標を描いて、それを回転させると、ｂ１と虚零線の交点ｐ１は右にずれて必ずa=0.5を超えます。ここに角度増加が起こり、矛盾が発生します。

（２，６，１０）、（２，６，１６）も同じです。






（２，６，４）の極座標図は（２，６，３）と同じです。しかし、繋がり方が異なるので、矛盾のあり方も異なります。

（２，６，４）の矛盾は角度を増やす、つまり、極座標図を左回転、軸で考えるなら、軸を右回転させると現われます。






回転させると、ｂ１と虚零線の交点ｐ１が左にずれて、左リーマン零点に近づきます。そのまま回転させると、ついにはひとつになるのですが、すでに証明済みのように虚零線同士は、交差することは出来ないので、接することになります。また、実零線・虚零線の性質からして、必ず直交しなければなりません。これらの条件のもとで実虚零線図を描こうとしても、描くことは出来ません。

ｐ１と左リーマン零点がひとつになったとき、虚零線が接する形を描くことが出来ないと言うこと、および、もし、無理矢理接する形にすると、その虚零線が実零線を超えて第２横Ｕ字形の内部に入り込んでしまい、そこから出ることが出来なくなります。

このような矛盾が生じるので、左リーマン零点とｐ１点がひとつになることは出来ず、それがありうるとする（２，６，４）の事例は矛盾を持っているので、実際にそのような事例が現われることはありません。

（２，６，６）、（２，６，１８）も同じです。




■１１の１４■　　　　　　事例（２，７，＊）の分析



事例（２，７，３）は、リーマン零点の間に実零線と虚零線が通っています。













ｂ１極座標図は右のようになります。

これを左回転させると、軸は右回転となり、(+,+)の部分が右にずれます。するとpi/2軸との交点であったｐ２は右リーマン零点に近づき、やがてa=0.5軸を超えます。このときの零線図内にあるｐ５において (-,+)から(-,-)への移動が生じ、角度増加が起こります。これは矛盾です。

このような矛盾が起きる（２，７，３）は起こり得ません。


（２，７，１０）と（２，７，１６）は、（２，７，３）と同じＪ矛盾です。











（２，７，４）は、a=0.5上に角度増加が起きているので矛盾です。（２，７，６）、（２，７，１８）も同じＤ矛盾です。










■１１の１５■　　　　　　事例（２，８，＊）の分析



事例（２，８，３）のｂ１極座標図を右回転させると、軸は左回転し、ｐ２点は左リーマン零点の方向に移動します。さらに回転させると、ますます左に寄り、最後には左リーマン零点と合体します。ことのき、左リーマン零点にはすでに第２、第３虚零線が通っているので、それと接触します。しかし、実零線もあり、この実零線とは直交するので、虚零線は実零線の横Ｕ字形の中に入ってしまい、繋がる相手を失うという矛盾が起きます。

このような矛盾の起きる（２，８，３）の事例は実際に起きることはありません。

（２，８，１０）、（２，８，１６）は（２，８，３）と同じです。









事例（２，８，４）は、極座標図は（２，８，３）と同じですが、虚零線の繋がり方が逆になります。この場合、ｐ２は第３・第４虚零線の通り道となります。ゆえに、極座標を左に回転させて、右リーマン零点に近づけます。すると、途中で必ずa=0.5軸を超えるので、そこで角度増加という矛盾が生じます。

（２，８，６）、（２，８，１８）も同じです。







■１１の１６■　　　　　　事例（２，９，＊）の分析



事例（２，９，３）はＪタイプ。ふたつのリーマン零点の間に虚零線との交点ｐ２，ｐ３があります。軸をL1まで傾けるとｐ２とｐ３が近づきます。さらに傾けるとｐ２とｐ３が交わるところが現われます。その点をｐ４と名付けておきます。ふたつの虚零線が交差しないことはすでに証明されています。結果的に、ｐ４では接触することになります。

ｐ４では、２本の虚零線は同じ傾きです。直後にこれが上下に分割されるので、新しくできた虚零線には先端があり、そこが尖っていることになります。尖ると言うことは、その傾きがふたつあることを意味しています。しかし、k(s)では、(1,0)と仮定上のリーマン零点を除いてすべて微分可能なので、尖った虚零線が生じることは矛盾と認定できます。

ゆえに、（２，９，３）の形が現われることはありません。




（２，９，４）はリーマン零点の間に実虚零線が通っていませんが、ｂ１極座標図を傾けると交点が現われます。









ｂ１極座標図を左回転させると、軸は右回転となります。すると、リーマン零点の間に虚零線との交点ｐ１が発生します。さらに回転させると、この交点は左のリーマン零点に近づき、やがて合体します。この時、左リーマン零点を通る虚零線と交差することは出来ないので、接触する形になります。実零線とは直交するので、実零線横Ｕ字形内に虚零線が入り込みます。しかし、そこには繋がる相手がないので、矛盾が生じます。ゆえに、（２，９，４）の作図は起こり得ないことが証明されました。

（２，９，６）、（２，９，１８）は（２，９，４）と同じです。




事例（２，９，１０）は、極座標を回転させたとき、別の種類の矛盾を指摘できます。













極座標図を右回転させると、ふたつのリーマン零点の間にある虚零点が近づき、やがて合体します。この時、ふたつの虚零線はこの点で接触する形になります。さらに回転させると交点が消滅して、虚零線同士の組み替えが起きます。このとき、新しく出来た虚零線に尖った先端が出来るので矛盾となります。

ゆえに、事例（２，９，１０）になることはありません。

（２，９，１６）も同じ矛盾です。

（２，９，１８）は（２，９，４）と同じです。




以上により、すべての事例を検討し、すべての事例に於いて矛盾が発見されたので、リーマン零点が横に並ぶことはなく、すべてのリーマン零点がa=0.5上にあることが証明されました。










ver20

証明の第１部

証明の第２部、第３部

証明の第４部

証明の第５部

証明の第６部

証明の第７部、第８部

以下、ver29

証明の第９部、第１０部

証明の第１１部


■　　　　　ver29 履歴





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